Ասիմպտոտիկ սիմվոլներ

Սահմանումներ

Դիցուք $\ f,g:E\to {\mathbb {R} }$ կամ $\ \mathbb {C}$ և $\ a$-ն $\ E$-ի կուտակման կետ է

• Կասենք $\ f\$-ը օ փոքր $\ g$ է՝$\ f(x)=o(g(x))$, երբ $\ x\to {a},x\in {E}$, եթե $\ \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$:
• Կասենք $\ f\$-ը օ մեծ $\ g$ է՝$\ f(x)=O(g(x))$, երբ $\ x\in {E}$, եթե $\exists {C>0}$, որ $\ \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right\vert \leq C,\forall x\in {E}$:
• Կասենք $\ f\$-ը օ մեծ $\ g$ է՝$\ f(x)=O(g(x))$, երբ $\ x\to {a},x\in {E}$, եթե $\ \exists {U_{\delta }(a)}$ շրջակայք այնպիսին,

որ $\ f(x)=O(g(x))$ երբ $\ x\in U_{\delta }(a)\bigcap E$:

• Կասենք $\ f\$-ը համարժեք է $\ g$-ին՝$\ f(x)\sim g(x)$, երբ $\ x\to {a},x\in {E}$, եթե $\ \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$:
• Կասենք $\ f\$-ը և $\ g$-ն նույն կարգի են՝$\ f(x)\asymp g(x)\ a$ կետում, եթե $\ \exists {U_{\delta }(a)}$ շրջակայք այնպիսին, որ $\ f(x)=O(g(x))$ և $\ f(x)=O(g(x))$, երբ $\ x\in U_{\delta }(a)\bigcap E$:

Օրինակներ

• • Մասնավորապես $\ f(x)=o(1)$ նշանակում է, որ $\ f$-ը անվերջ փոքր է $\ a$ կետում
  • $\ \sin {z}=o(z)$, երբ $\ z\to 0$
  • $\ \ln {x}=o(x^{\alpha })$, երբ $\ x\to +\infty \ (\forall {\alpha >0})$
  • $\ \ln {x}=o({\frac {1}{x^{\alpha }}})$, երբ $\ x\to +0\ (\forall {\alpha >0})$
  • $\ (1+x)^{\alpha }=1+\alpha {x}+o(x)$, երբ $\ x\to 0\ (\forall {\alpha \in \mathbb {R} })$
  • $\ e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+o(z^{2})$, երբ $\ z\to 0$
  • $\ \ln {n!}=n\ln {n}+o(n\ln {n})$, երբ $\ n\to \infty$
  • Դիցուք $\pi (x)$ ֆունկցիան հավասար է $\ x>0$ չգերազանցող պարզ թվերի քանակին, այդ դեպքում

$\pi (x)\to +\infty$, երբ $\ x\to +\infty$

և

$\ \pi (x)={\frac {x}{\ln {x}}}+o({\frac {x}{\ln {x}}})$, երբ $\ x\to +\infty$

• • Մասնավորապես $\ f(x)=O(1)$ նշանակում է, որ $\ f$-ը սահմանափակ է $\ U_{\delta }(a)\bigcap E$ բազմության վրա
  • $\ \sin {z}=O(z)$, երբ $\ |z|<1$
  • $\ \sin {x}=O(x)$, երբ $\ x\in \mathbb {R}$, բայց երբ $\ z\in \mathbb {C} \ \sin {z}\neq O(z)$
  • $\ e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+O(z^{3})$, երբ $\ z\to 0$
  • $\ \ln {n!}=n\ln {n}+O(n)$, երբ $\ n\to \infty$
• • $\ \sin {z}\sim z$, երբ $\ z\to 0$
  • $\ \sin {z}\sim z+z^{2}$, երբ $\ z\to 0$
  • Էյլերի գամմա ֆունկցիայի` $\ \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}\,dt\ ,x>0$ համար

$\ \Gamma (x+1)={\sqrt {2\pi x}}{\left({\frac {x}{e}}\right)}^{x}\left(1+O({\frac {1}{x}})\right)$, երբ $\ x\to +\infty$

կամ

$\ \Gamma (n+1)=n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left(1+O({\frac {1}{n}})\right)$, երբ $\ n\to +\infty$,

որտեղից հեշտ ստացվում է Ստիրլինգի բանաձևը՝

$\ n!\sim {\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}$

և

$\ n!\asymp {\frac {n^{n+{\frac {1}{2}}}}{e^{n}}}$

• $\ f(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac {e^{t}}{t^{\alpha }}}\,dt\ ,\ g(x)={\frac {e^{x}}{x^{\alpha }}},\ \alpha \in \mathbb {R}$

$\ f\sim g$, երբ $\ x\to +\infty$

իրոք $\ f(x){\xrightarrow[{x\to +\infty }]{}}+\infty$ և ըստ Լոպիտալի կանոնի $\ \lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{1}^{x}{\frac {e^{t}}{t^{\alpha }}}\,dt}{\frac {e^{x}}{x^{\alpha }}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {\frac {e^{x}}{x^{\alpha }}}{{\frac {e^{x}}{x^{\alpha }}}-{\frac {\alpha e^{x}}{x^{\alpha +1}}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{1-{\frac {\alpha }{x}}}}=1$

Հատկություններ

• $\ f\sim g\Rightarrow f\asymp g$
• $\ \forall f(x),g(x)$ ֆունկիցիանների համար,որոնք որոշված են $\ x=a$ կետի ինչ-որ շրջակայքում, և $\ \forall C\in {\mathbb {R} }$, երբ $\ x\to a,x\in E$, ապա
  • $\ o(f)+o(f)=o(f)$
  • $\ o(f)+O(f)=O(f)$
  • $\ O(f)+O(f)=O(f)$
  • $\ o(f)\cdot o(g)=o(f\cdot {g})$
  • $\ o(f)\cdot O(g)=o(f\cdot {g})$
  • $\ o(Cf))=o(f)$
  • $\ O(Cf)=O(f)$
  • $\ o(o(f))=o(f)$
  • $\ o(O(f))=o(f)$
  • $\ O(o(f))=o(f)$