Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Ֆուրյեի շարքեր, էյլեր-ֆուրյեի բանաձևը

Ֆուրյեի շարքեր: Էյլեր-ֆուրյեի բանաձևերը:

Թեորեմ:

Դիցուք

$f(x)={{a_{0}} \over 2}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}$

և աջ կողմի շարքը հավասարաչափ զուգամետ է $x\in \left[{-\pi ,\pi }\right]$-ում: Այդ դեպքում տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը.

$a_{0}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)dx},$

$a_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)\cos nxdx},$

$b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)\sin nxdx},$

$\forall n=1,2,...:$

Ապացույց:

Քանի որ աջ կողմում գրված շարքը հավասարաչափ զուգամետ է $\left[{-\pi ,\pi }\right]$-ում և նրա բոլոր անդամները անընդհատ ֆունկցիաներ են այդ հատվածում, ապա ըստ ֆունկցիոնալ շարքերի գումարի անընդհատության `$f(x)$ ֆունկցիան կլինի ևս անընդհատ այդ հատվածում, իսկ շարքը` անդամ առ անդամ ինտեգրելի $\left[{-\pi ,\pi }\right]$-ում:

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)dx}=\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{{a_{0}} \over 2}dx}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos nxdx}+b_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\sin nxdx}=}a_{0}\pi :$

Այսպիսով մենք ապացուցեցինք առաջին բանաձևը: Այժմ սկզբնական շարքը անդամ առ անդամ բազմապատկենք $\cos nx$ և $\sin nx$ ֆունկցիաներով:

Դիցուք տրված է հավասարաչափ զուգամետ $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{f_{n}(x)}$ շարքը: Ապացուցենք, որ $\cos kx\sum \limits _{n=1}^{\infty }{f_{n}(x)}$ շարքը ևս կլինի հավասարաչափ զուգամետ, օգտվելով Կոշիի հավասարաչափ զուգամիտության հայտանիշից. $\left|{\sum \limits _{i=n+1}^{n+p}{f_{i}(x)\cos kx}}\right|\leq \left|{\cos kx}\right|\left|{\sum \limits _{i=n+1}^{n+p}{f_{i}(x)}}\right|\leq \left|{\sum \limits _{i=n+1}^{n+p}{f_{i}(x)}}\right|<\varepsilon$

Ստացված շարքերը ևս կլինեն հավասարաչափ զուգամետ $\left[{-\pi ,\pi }\right]$-ում, հետևաբար անդամ առ անդամ ինտեգրելով և կիրառելով օրթոգոնալության հատկությունը կստանանք`

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x)\cos nxdx}={{a_{0}} \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos nxdx}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos nx\cos nxdx}+}b_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\sin nx\cos nxdx}=a_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos ^{2}nxdx}=a_{n}\pi$

Նույնաբար կստացվի և երրորդ բանաձևը: