Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Ֆուրյեի շարքեր, էյլեր-ֆուրյեի բանաձևը

Վիքիգրքեր-ից
Անցնել դեպի նավարկություն, որոնել

Ֆուրյեի շարքեր: Էյլեր-ֆուրյեի բանաձևերը:[խմբագրել]

Թեորեմ:

Դիցուք

և աջ կողմի շարքը հավասարաչափ զուգամետ է -ում: Այդ դեպքում տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը.


Ապացույց:

Քանի որ աջ կողմում գրված շարքը հավասարաչափ զուգամետ է -ում և նրա բոլոր անդամները անընդհատ ֆունկցիաներ են այդ հատվածում, ապա ըստ ֆունկցիոնալ շարքերի գումարի անընդհատության ` ֆունկցիան կլինի ևս անընդհատ այդ հատվածում, իսկ շարքը` անդամ առ անդամ ինտեգրելի -ում:

Այսպիսով մենք ապացուցեցինք առաջին բանաձևը: Այժմ սկզբնական շարքը անդամ առ անդամ բազմապատկենք և ֆունկցիաներով:

Դիցուք տրված է հավասարաչափ զուգամետ շարքը: Ապացուցենք, որ շարքը ևս կլինի հավասարաչափ զուգամետ, օգտվելով Կոշիի հավասարաչափ զուգամիտության հայտանիշից.

Ստացված շարքերը ևս կլինեն հավասարաչափ զուգամետ -ում, հետևաբար անդամ առ անդամ ինտեգրելով և կիրառելով օրթոգոնալության հատկությունը կստանանք`

Նույնաբար կստացվի և երրորդ բանաձևը: