Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Լոկալիզացիայի սկզբունքը

Ռիմանի թեորեմը լոկալիզացիայի սկզբունքի մասին:

Դիցուք $f(x)$ ֆունկցիան ինտեգրելի է իսկական իմաստով կամ բացարձակ ինտեգրելի է անիսկական իմաստով $[-\pi \;;\pi \;]$ միջակայքում, ընդ որում` $f(\pi )=f(-\pi )$: $f(x)$ ֆունկցիայի Ֆուրյեի շարքի զուգամիտությունը և գումարի արժեքը կախված է հետևյալ սահմանից.

$\lim \limits _{n\to \infty }{1 \over \pi }\int \limits _{0}^{\delta }{\sin(2n+1){u \over 2}}\cdot {{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)} \over {\sin {u \over 2}}}du$:

Եթե այն գոյություն ունի, ապա Ֆուրյեի շարքի գումարը հենց դա է, ընդ որում`

$x\in \left({x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta }\right);\forall \delta >0$:

Մնացած կետերում արժեքները դեր չեն խաղում:

Ապացույց.

$f(x)$ ֆունկցիան պարբերական շարունակենք ամբողջ թվային առանցքի վրա: Դիրիխլեյի ինտեգրալի մեջ կատարենք փոփոխականի փոխարինում`

$u=t-x,$
$S_{n}(x_{0},f)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(t)D_{n}(t-x_{0})dt=}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi -x_{0}}^{\pi -x_{0}}{f(x_{0}+u)D_{n}(u)du=}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f(x_{0}+u)D_{n}(u)du:}$

Եթե տրված է $T$ պարբերությամբ $F(t)$ ֆունկցիա, ապա. $\int \limits _{a}^{a+T}{F(t)dt=}\int \limits _{b}^{b+T}{F(t)dt}$: Ապացույց. նշանակենք $u=t-T$: Կունենանք` $\int \limits _{a}^{a+T}{F(t)dt=}\int \limits _{a}^{b}{F(t)dt+}\int \limits _{b}^{b+T}{F(t)dt+}\int \limits _{b+T}^{a+T}{F(t)dt=}\int \limits _{a}^{b}{F(t)dt+}\int \limits _{b}^{b+T}{F(t)dt+}\int \limits _{b}^{a}{F(u+T)dt=}\int \limits _{b}^{b+T}{F(t)dt}$:

Հավասարության աջ մասը ներկայացնելով երկու ինտեգրալների գումարի տեսքով, առաջին ինտեգրալի մեջ կատարելով $y=-u$ փոփոխականի փոխարինում, և հաշվի առնելով Դիրիխլեյի կորիզի զույգությունը` $D_{n}(-u)=D_{n}(-u)$, կստանանք`

$S_{n}(x_{0},f)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{0}{f(x_{0}+u)D_{n}(u)du+}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{f(x_{0}+u)D_{n}(u)du}=$ $={1 \over {2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{f(x_{0}-y)D_{n}(y)dy+}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{f(x_{0}+u)D_{n}(u)du}={1 \over \pi }\int \limits _{0}^{\pi }{D_{n}(u){{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)} \over 2}du}$:

Ստացված արտահայտության մեջ տեղադրելով Դիրիխլեի կորիզի արժեքը, կստանանք`

$S_{n}(x_{0},f)={1 \over \pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\sin(2n+1){u \over 2}\cdot {{\left[{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}\right]} \over {2\sin {u \over 2}}}du}$:

Այժմ ֆիքսենք որևէ $\delta ,0<\delta <\pi$ թիվ, և ստացված հավասարության աջ մասը ներկայացնենք երկու ինտեգրալների գումարի տեսքով`

$S_{n}(x_{0},f)={1 \over \pi }\int \limits _{0}^{\delta }{\sin(2n+1){u \over 2}\cdot {{\left[{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}\right]} \over {2\sin {u \over 2}}}du}+{1 \over \pi }\int \limits _{\delta }^{\pi }{\sin(2n+1){u \over 2}\cdot {{\left[{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}\right]} \over {2\sin {u \over 2}}}du}$:

Քանի որ ${1 \over {2\sin {u \over 2}}}$ ֆունկցիան անընդհատ է, և, հետևաբար, նաև սահմանափակ $\left[{\delta ,\pi }\right]$ հատվածի վրա,

իսկ $f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)$ ֆունկցիան` ցանկացած $x\in \left[{-\pi ;\pi }\right]$ դեպքում $2\pi$ պարբերական է և ինտեգրելի` ըստ $u$-ի $x\in \left[{-\pi ;\pi }\right]$ միջակայքում, ապա ինտեգրելի կլինի նաև նրանց արտադրյալը`

${{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)} \over {2\sin {u \over 2}}}$,

$\left[{\delta ,\pi }\right]$ հատվածի վրա: Հետևաբար, համաձայն Ռիմանի լեմմայի`

$\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{\delta }^{\pi }{\sin(2n+1){u \over 2}\cdot {{\left[{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}\right]} \over {2\sin {u \over 2}}}du}=0$:

Թեորեմը ապացուցված է՛: -357-