Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Լոկալիզացիայի սկզբունքը

Վիքիգրքեր-ից
Անցնել դեպի նավարկություն, որոնել

Ռիմանի թեորեմը լոկալիզացիայի սկզբունքի մասին:[խմբագրել]

Դիցուք ֆունկցիան ինտեգրելի է իսկական իմաստով կամ բացարձակ ինտեգրելի է անիսկական իմաստով միջակայքում, ընդ որում` : ֆունկցիայի Ֆուրյեի շարքի զուգամիտությունը և գումարի արժեքը կախված է հետևյալ սահմանից.

:

Եթե այն գոյություն ունի, ապա Ֆուրյեի շարքի գումարը հենց դա է, ընդ որում`

:

Մնացած կետերում արժեքները դեր չեն խաղում:

Ապացույց.

ֆունկցիան պարբերական շարունակենք ամբողջ թվային առանցքի վրա: Դիրիխլեյի ինտեգրալի մեջ կատարենք փոփոխականի փոխարինում`


Եթե տրված է պարբերությամբ ֆունկցիա, ապա.

:

Ապացույց.

նշանակենք : Կունենանք`

:

Հավասարության աջ մասը ներկայացնելով երկու ինտեգրալների գումարի տեսքով, առաջին ինտեգրալի մեջ կատարելով փոփոխականի փոխարինում, և հաշվի առնելով Դիրիխլեյի կորիզի զույգությունը` , կստանանք`

:

Ստացված արտահայտության մեջ տեղադրելով Դիրիխլեի կորիզի արժեքը, կստանանք`

:

Այժմ ֆիքսենք որևէ թիվ, և ստացված հավասարության աջ մասը ներկայացնենք երկու ինտեգրալների գումարի տեսքով`

:

Քանի որ ֆունկցիան անընդհատ է, և, հետևաբար, նաև սահմանափակ հատվածի վրա,

Gr sin.gif

իսկ ֆունկցիան` ցանկացած դեպքում պարբերական է և ինտեգրելի` ըստ միջակայքում, ապա ինտեգրելի կլինի նաև նրանց արտադրյալը`

,

հատվածի վրա: Հետևաբար, համաձայն Ռիմանի լեմմայի`

:

Թեորեմը ապացուցված է՛: