Դիսկրետ

Ապացուցել նույնությունը՝
$\sum _{k=0}^{n}{2n \choose k}k=n\cdot 2^{2n-1}$

Լուծում՝
$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}$
Ածանցելով վերեւի արտահայտությունը կստանանք՝
$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}kx^{k-1}=n\cdot (1+x)^{n-1}$
x-ի տեղը տեղադրելով 1 կստանանք՝
$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}k=n\cdot 2^{n-1}$
n-ի տեղն էլ տեղադրելով 2n կստանանք՝
$\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}k=2n\cdot 2^{2n-1}$
$\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}k=0\cdot {2n \choose 0}+1\cdot {2n \choose 1}+2\cdot {2n \choose 2}+\ldots +(n-1)\cdot {2n \choose n-1}+n\cdot {2n \choose n}+(n+1)\cdot {2n \choose n+1}+\ldots +2n\cdot {2n \choose 2n}$
$0\cdot {2n \choose 0}=0$
$1\cdot {2n \choose 1}\leftrightarrow 2n\cdot {2n \choose 2n}$
$2\cdot {2n \choose 2}\leftrightarrow (2n-1)\cdot {2n \choose 2n-1}$
$3\cdot {2n \choose 3}\leftrightarrow (2n-2)\cdot {2n \choose 2n-2}$
${\begin{cases}1\cdot {2n \choose 1}=2n\\2n\cdot {2n \choose 2n}=2n\end{cases}}$
${\begin{cases}2\cdot {2n \choose 2}={\frac {2\cdot (2n)!}{2\cdot (2n-2)!}}=2n(2n-1)\\(2n-1)\cdot {2n \choose 2n-1}={\frac {(2n-1)\cdot (2n)!}{(2n-1)!}}=2n(2n-1)\end{cases}}$
${\begin{cases}3\cdot {2n \choose 3}={\frac {3\cdot (2n)!}{3!\cdot (2n-3)!}}=n(2n-1)(2n-2)\\(2n-2)\cdot {2n \choose 2n-2}={\frac {(2n-2)\cdot (2n)!}{(2n-2)!\cdot 2!}}=n(2n-1)(2n-2)\end{cases}}$
$\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}k=2\sum _{k=0}^{n}{2n \choose k}k$
$\sum _{k=0}^{n}{2n \choose k}k=n\cdot 2^{2n-1}$