Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Ֆուրյեի շարքեր, էյլեր-ֆուրյեի բանաձևը

Վիքիգրքերյից՝ ազատ հանրագիտարանից

[խմբագրել] Ֆուրյեի շարքեր: Էյլեր-ֆուրյեի բանաձևերը:

Թեորեմ:

Դիցուք

$f(x) = {{a_0 } \over 2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos nx + b_n \sin nx}$

և աջ կողմի շարքը հավասարաչափ զուգամետ է $x \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]$ -ում: Այդ դեպքում տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը.

$a_0 = {1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x)dx} ,$

$a_n = {1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x)\cos nxdx} ,$

$b_n = {1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x)\sin nxdx} ,$

$\forall n = 1,2,... :$

Ապացույց:

Քանի որ աջ կողմում գրված շարքը հավասարաչափ զուգամետ է $\left[ { - \pi ,\pi } \right]$ -ում և նրա բոլոր անդամները անընդհատ ֆունկցիաներ են այդ հատվածում, ապա ըստ ֆունկցիոնալ շարքերի գումարի անընդհատության ` $f (x)$ ֆունկցիան կլինի ևս անընդհատ այդ հատվածում, իսկ շարքը` անդամ առ անդամ ինտեգրելի $\left[ { - \pi ,\pi } \right]$ -ում:

$\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x)dx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {{{a_0 } \over 2}dx} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos nxdx} + b_n \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin nxdx} = } a_0 \pi :$

Այսպիսով մենք ապացուցեցինք առաջին բանաձևը: Այժմ սկզբնական շարքը անդամ առ անդամ բազմապատկենք $cos n x$ և $sin n x$ ֆունկցիաներով:

Դիցուք տրված է հավասարաչափ զուգամետ $\sum\limits_{n = 1}^\infty {f_n (x)}$ շարքը: Ապացուցենք, որ $\cos kx\sum\limits_{n = 1}^\infty {f_n (x)}$ շարքը ևս կլինի հավասարաչափ զուգամետ, օգտվելով Կոշիի հավասարաչափ զուգամիտության հայտանիշից.

$\left| {\sum\limits_{i = n + 1}^{n + p} {f_i (x)\cos kx} } \right| \le \left| {\cos kx} \right|\left| {\sum\limits_{i = n + 1}^{n + p} {f_i (x)} } \right| \le \left| {\sum\limits_{i = n + 1}^{n + p} {f_i (x)} } \right| < \varepsilon$

Ստացված շարքերը ևս կլինեն հավասարաչափ զուգամետ $\left[ { - \pi ,\pi } \right]$ -ում, հետևաբար անդամ առ անդամ ինտեգրելով և կիրառելով օրթոգոնալության հատկությունը կստանանք`

$\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x)\cos nxdx} = {{a_0 } \over 2}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos nxdx} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos nx\cos nxdx} + } b_n \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin nx\cos nxdx} = a_n \int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos ^2 nxdx} = a_n \pi$

Նույնաբար կստացվի և երրորդ բանաձևը:

Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Ֆուրյեի շարքեր, էյլեր-ֆուրյեի բանաձևը

Վիքիգրքերյից՝ ազատ հանրագիտարանից

[խմբագրել] Ֆուրյեի շարքեր: Էյլեր-ֆուրյեի բանաձևերը:

Դիտումները

Անձնական գործիքներ

Շրջել կայքում

Print/export

Որոնել

Գործիքներ