Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Եռանկյունաչափական շարքեր, եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները

Վիքիգրքերյից՝ ազատ հանրագիտարանից

[խմբագրել] Եռանկյունաչափական շարքեր: Եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները:

Սահմանում:

Հետևյալ տեսքի շարքը`

${{a_0 } \over 2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos nx + b_n \sin nx}$ ,

որտեղ $\left\{ {a_n } \right\}_{n = 0}^\infty$ և $\left\{ {b_n } \right\}_{n = 1}^\infty$ թվային հաջորդականություններ են, կոչվում է եռանկյունաչափական շարք: Շարքի անդամները ստացվում են $c o s n x$ , $s i n n x$ ֆունկցիաները թվերով բազմապատկելով: Այս ֆունկցիաների հաջորդականությունը կոչվում է եռանկյունաչափական համակարգ:

Լեմմա:

Եռանկյունաչափական համակարգը ունի հետևյալ հատկությունները.

1. Օրթոգոնալության հատկություն:

ա) $\int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos kx\cos mxdx = 0} ,$ $k \ne m,$

բ) $\int\limits_{ - \pi } ^\pi {\cos kx\sin mxdx = 0} ,$ $\cos kx \ne \sin mx$

գ) $\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin kx\sin mxdx = 0} ,$ $k \ne m:$

2. Նորմավորվածության հատկություն:

ա) ${1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos ^2 kxdx = 1} ,$

բ) ${1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin ^2 kxdx = 1} :$

Ապացույց:

1. ա) $\int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos kx\cos mxdx = } {1 \over 2}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left[ {\cos (k + m)x + \cos (k - m)x} \right]dx = } {1 \over 2}\left. {\left[ {{{\sin (k + m)x} \over {k + m}} + {{\sin (k - m)x} \over {k - m}}} \right]} \right|_{ - \pi }^\pi = 0$

2. ա) ${1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos ^2 kxdx = } {1 \over \pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{1 + \cos 2kx} \over 2}dx = } {1 \over {2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {dx} + \int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos 2kxdx} = 1 + \left. {{{\sin 2kx} \over {4\pi k}}} \right|_{ - \pi }^\pi = 1$

--Ruben 12:41, 9 Փետրվար 2006 (UTC)

Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Եռանկյունաչափական շարքեր, եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները

Վիքիգրքերյից՝ ազատ հանրագիտարանից

[խմբագրել] Եռանկյունաչափական շարքեր: Եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները:

Դիտումները

Անձնական գործիքներ

Շրջել կայքում

Print/export

Որոնել

Գործիքներ