Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Եռանկյունաչափական շարքեր, եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները

Եռանկյունաչափական շարքեր: Եռանկյունաչափական շարքերի հատկությունները:

Սահմանում:

Հետևյալ տեսքի շարքը`

${{a_{0}} \over 2}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}$,

որտեղ $\left\{{a_{n}}\right\}_{n=0}^{\infty }$ և $\left\{{b_{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }$ թվային հաջորդականություններ են, կոչվում է եռանկյունաչափական շարք: Շարքի անդամները ստացվում են $cosnx$, $sinnx$ ֆունկցիաները թվերով բազմապատկելով: Այս ֆունկցիաների հաջորդականությունը կոչվում է եռանկյունաչափական համակարգ:

Լեմմա:

Եռանկյունաչափական համակարգը ունի հետևյալ հատկությունները.

1. Օրթոգոնալության հատկություն:

ա) $\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos kx\cos mxdx=0},$     $k\neq m,$

բ) $\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos kx\sin mxdx=0},$     $\cos kx\neq \sin mx$

գ) $\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\sin kx\sin mxdx=0},$     $k\neq m:$

2. Նորմավորվածության հատկություն:

ա) ${1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos ^{2}kxdx=1},$

բ) ${1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\sin ^{2}kxdx=1}:$

Ապացույց:

1. ա) $\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos kx\cos mxdx=}{1 \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\left[{\cos(k+m)x+\cos(k-m)x}\right]dx=}{1 \over 2}\left.{\left[{{{\sin(k+m)x} \over {k+m}}+{{\sin(k-m)x} \over {k-m}}}\right]}\right|_{-\pi }^{\pi }=0$

2. ա) ${1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos ^{2}kxdx=}{1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{{1+\cos 2kx} \over 2}dx=}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{dx}+\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos 2kxdx}=1+\left.{{\sin 2kx} \over {4\pi k}}\right|_{-\pi }^{\pi }=1$

--Ruben 12:41, 9 Փետրվար 2006 (UTC)