Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Լոկալիզացիայի սկզբունքը

Վիքիգրքերյից՝ ազատ հանրագիտարանից

[խմբագրել] Ռիմանի թեորեմը լոկալիզացիայի սկզբունքի մասին:

Դիցուք $f (x)$ ֆունկցիան ինտեգրելի է իսկական իմաստով կամ բացարձակ ինտեգրելի է անիսկական իմաստով $[-\pi\;;\pi\;]$ միջակայքում, ընդ որում` $f (π) = f ( - π)$ : $f (x)$ ֆունկցիայի Ֆուրյեի շարքի զուգամիտությունը և գումարի արժեքը կախված է հետևյալ սահմանից.

$\lim \limits_{n \to \infty } {1 \over \pi }\int\limits_0^\delta {\sin (2n + 1){u \over 2}} \cdot {{f(x_0 + u) + f(x_0 - u)} \over {\sin {u \over 2}}}du$ :

Եթե այն գոյություն ունի, ապա Ֆուրյեի շարքի գումարը հենց դա է, ընդ որում`

$x \in \left( {x_0 - \delta ,x_0 + \delta } \right);\forall \delta > 0$ :

Մնացած կետերում արժեքները դեր չեն խաղում:

Ապացույց.

$f (x)$ ֆունկցիան պարբերական շարունակենք ամբողջ թվային առանցքի վրա: Դիրիխլեյի ինտեգրալի մեջ կատարենք փոփոխականի փոխարինում`

$u = t - x,$
$S_n (x_0,f) = {1 \over {2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(t)D_n (t - x_0)dt = } {1 \over {2\pi }}\int\limits_{ - \pi - x_0}^{\pi - x_0} {f(x_0 + u)D_n (u)du = } {1 \over {2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {f(x_0 + u)D_n (u)du:}$

Եթե տրված է $T$ պարբերությամբ $F (t)$ ֆունկցիա, ապա.

$\int\limits_a^{a + T} {F(t)dt = } \int\limits_b^{b + T} {F(t)dt}$ :

Ապացույց.

նշանակենք $u = t - T$ : Կունենանք`

$\int\limits_a^{a + T} {F(t)dt = } \int\limits_a^b {F(t)dt + } \int\limits_b^{b + T} {F(t)dt + } \int\limits_{b + T}^{a + T} {F(t)dt = } \int\limits_a^b {F(t)dt + } \int\limits_b^{b + T} {F(t)dt + } \int\limits_b^a {F(u + T)dt = } \int\limits_b^{b + T} {F(t)dt}$ :

Հավասարության աջ մասը ներկայացնելով երկու ինտեգրալների գումարի տեսքով, առաջին ինտեգրալի մեջ կատարելով $y = - u$ փոփոխականի փոխարինում, և հաշվի առնելով Դիրիխլեյի կորիզի զույգությունը` $D n ( - u) = D n ( - u)$ , կստանանք`

$S_n (x_0,f) = {1 \over {2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^0 {f(x_0 + u)D_n (u)du + } {1 \over {2\pi }}\int\limits_0^\pi {f(x_0 + u)D_n (u)du} =$ $= {1 \over {2\pi }}\int\limits_0^\pi {f(x_0 - y)D_n (y)dy + } {1 \over {2\pi }}\int\limits_0^\pi {f(x_0 + u)D_n (u)du} = {1 \over \pi }\int\limits_0^\pi {D_n (u){{f(x_0 + u) + f(x_0 - u)} \over 2}du}$ :

Ստացված արտահայտության մեջ տեղադրելով Դիրիխլեի կորիզի արժեքը, կստանանք`

$S_n (x_0,f) = {1 \over \pi }\int\limits_0^\pi {\sin (2n + 1){u \over 2} \cdot {{\left[ {f(x_0 + u) + f(x_0 - u)} \right]} \over {2\sin {u \over 2}}}du}$ :

Այժմ ֆիքսենք որևէ $δ,0 < δ < π$ թիվ, և ստացված հավասարության աջ մասը ներկայացնենք երկու ինտեգրալների գումարի տեսքով`

$S_n (x_0,f) = {1 \over \pi }\int\limits_0^\delta {\sin (2n + 1){u \over 2} \cdot {{\left[ {f(x_0 + u) + f(x_0 - u)} \right]} \over {2\sin {u \over 2}}}du} + {1 \over \pi }\int\limits_\delta ^\pi {\sin (2n + 1){u \over 2} \cdot {{\left[ {f(x_0 + u) + f(x_0 - u)} \right]} \over {2\sin {u \over 2}}}du}$ :

Քանի որ ${1 \over {2\sin {u \over 2}}}$ ֆունկցիան անընդհատ է, և, հետևաբար, նաև սահմանափակ $\left[ {\delta ,\pi } \right]$ հատվածի վրա,

իսկ $f (x 0 + u) + f (x 0 - u)$ ֆունկցիան` ցանկացած $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ դեպքում $2π$ պարբերական է և ինտեգրելի` ըստ $u$ -ի $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ միջակայքում, ապա ինտեգրելի կլինի նաև նրանց արտադրյալը`

${{f(x_0 + u) + f(x_0 - u)} \over {2\sin {u \over 2}}}$ ,

$\left[ {\delta ,\pi } \right]$ հատվածի վրա: Հետևաբար, համաձայն Ռիմանի լեմմայի`

$\lim \limits_{n \to \infty } \int\limits_\delta ^\pi {\sin (2n + 1){u \over 2} \cdot {{\left[ {f(x_0 + u) + f(x_0 - u)} \right]} \over {2\sin {u \over 2}}}du} = 0$ :

Թեորեմը ապացուցված է՛:

Մաթ. Անալիզ/2-րդ կուրս/Լոկալիզացիայի սկզբունքը

Վիքիգրքերյից՝ ազատ հանրագիտարանից

[խմբագրել] Ռիմանի թեորեմը լոկալիզացիայի սկզբունքի մասին:

Դիտումները

Անձնական գործիքներ

Շրջել կայքում

Print/export

Որոնել

Գործիքներ