Դիցուք
,
և
Այդ դեպքում՝
- 1) եթե
, երբ
, ապա
, երբ
;
- 2) եթե
, երբ
, ապա
, երբ
;
- 3) եթե
, երբ
, ապա
, երբ
;
- 1) եթե
, երբ
, ապա
և
, որ
![{\displaystyle \ |f(x)|\leq C_{1}g(x)\ \forall x\in (b-\delta ,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c4ece0e7cf2a57f198e176dfb05141e7864423)
- և քանի որ
և
ֆունկցիանները անընդհատ են
փակ հատվածի վրա, ապա սահմանափակ են, որտեղից
![{\displaystyle \ \exists {C_{2}}>0\ st\ |f(x)|\leq C_{2}g(x)\ \forall x\in [a,b-\delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639af3f7583281baeeb465230bc023492cf43a68)
- Եթե
, ապա կունենանք
![{\displaystyle \ |f(x)|\leq Cg(x)\ \forall x\in [a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a351cdf84340e03bfd7cfc0f0f51e53dfd6c9b)
- որտեղից
![{\displaystyle \ \left|\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt\right|\leq \int \limits _{a}^{x}{|f(t)|}\,dt\leq C\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt\ \forall x\in [a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7240b99341bf43c4d59560b6b6896192c032db)
- այսինքն
:
- 2)Եթե
, երբ
, ապա ըստ սահմանման ![{\displaystyle \ \lim _{x\to b}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7555eb759594888c6b0bd75c30bfecd0279a5ca6)
- եթե
, ապա ըստ Լոպիտալի կանոնի
![{\displaystyle \ \lim _{x\to b-0}{\frac {\left|\int \limits _{a}^{x}{f(t)}\,dt\right|}{\int \limits _{a}^{x}{g(t)}\,dt}}\leq \lim _{x\to b-0}{\frac {\left|f(x)\right|}{g(x)}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a08a63c6bf1eea40279e9bc2429155326b95dc)
- հակառակ դեպքում
:
- 3)Եթե
, երբ
, ապա ![{\displaystyle \ \lim _{x\to b}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf1b4cd7f6574620f2ba8f6d1d8bd60a02acf32)